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教学研究

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从高位起算和低位起算谈起

发布时间:01-09

    经常听到一些数学老师说:孩子学过珠心算后再上学,在计算时会产生困惑?因为珠算是从高位算起,而学校数学课上所学的笔算是从低位算起,学生先学过高位算起,又学习低位算起,学生就容易产生困惑。因此,很多小学数学老师就以此为由来反对学习珠心算。下面就从数学历史发展的角度来谈高位算起与低位算起。

                               一、    笔算的形成

      印度创造了易写的数码,即我们现在所称的阿拉伯数码。(该数码实际上是印度人创造的。只因在历史上,该数码是从阿拉伯国家传入欧洲的,欧洲人就称为阿拉伯数码,传遍世界)。印度运用此数码于计算,就有了一定的笔算形式;经过各国各地人们的不断改进,成为今天人人熟知的笔算。

      这种数码在8世纪时开始传入伊斯兰国家。那时阿拉伯的文化中心有两个:一个是东阿拉伯的巴格达,一是西阿拉伯的科尔多瓦(Cordoba,西班牙南部)。当时没有印刷术,书籍全凭抄写,字体因人因地而异。也可能是因为通过不同的途径传播,东、西部数码的写法有很大区别。经过若干年的演变,差异越来越大。东阿拉伯的字体渐渐固定下来,形成一种独特的数码,至今很多伊斯兰国家仍在使用。西阿拉伯的数码较接近现今的世界通用数码,在13世纪初由斐波那契介绍到欧洲。他在《算盘书》(Liber abaci)的开头就提出了带0号的印度—阿拉伯数码:“这里是九个印度数码 987654321,用这九个数码,加上阿拉伯人称之为零(zephirum)的符号0,任何数都可以写出来。”[1]按照阿拉伯人的习惯,文字和数字是从左向右读的。斐波那契的《算盘书》使印度—阿拉伯数码得以推广和流行,对于改变欧洲数学的面貌起了极为重要的作用。

     由阿拉伯数码形成的“笔算”,实际上只是一种记录形式因为“笔”本身是不会计算的,我们通常所说的笔算实际上就是笔录题目,数字适当对位,逐位口算(心算)出结果,再用阿拉伯数码记录下来。简言之:笔算就是口算加笔录。因为阿拉伯数码的最大优点是:大多可以一笔(除4和5外)写出。所以用它笔录显得简便。

                               二、笔算低位算起的来历

      由于珠算是从高位算起,笔算是从低位算起,很多人就把笔算作为衡量一种算法好坏的标准,认为与笔算不一致的算法就不好。其实,在笔算形成的初期,其加减乘除都是从高位算起的;就是现在,笔算的除法仍然是从高位算起。从笔算的演变和发展过程中,就可以看出:笔算的加减算和乘算也是从高位算起的,只是遇到进位时,需要改写前面的数字,因此,笔算中的加减算和乘算才逐步改为低位算起。从下面的算式就可以看出:

例如:65 391 + 3 279 + 10 420 = 79 090

在当时的印度,其计算过程是: 65 391

                              3 279

                             10 420

                             78/ 98/0

                              9 09

      这是印度12世纪沙盘上的加法[2],就仍保留这从高位算起的程式。这也证实了笔算的加减算形成的初期也是从高位算起的,在计算过程中,为了避免不停地改写阿拉伯数码的麻烦,才逐渐改为低位算起。至于乘算就不再举例子了。

                       三、笔算与用罗马数字计算的对比

      欧洲笔算的形成应该在13世纪以后,以后各地又有所改进。欧洲在引入阿拉伯数码之前,所用的是罗马数字。罗马数字七个基本符号:Ⅰ(1)、Ⅴ(5)、Ⅹ(10)、L(50)、C(100)、D(500)、M(1000)。罗马数字记数法采用的是“简单累数制”,记数时为了简单一些,又采用“左减右加”的法则。凭借罗马数字单单记数、表示数就很麻烦,用于运算的繁难是可想而知的。

例1:计算449+214=663。用罗马数字列的算式与笔算的算式分别为:              

                CDXLIX                    9

             CCXI V                  4

       

               DCLXIII                     

      凭借罗马数字,是把数码符号集拢起来,如何集拢,很麻烦;例如,上面算式中的三个C、C、C又不能直接合成三百。而凭借阿拉伯数码,按位转化为两个码相加,简单容易。

      下面我们从算法的四个要素来分析对比:用阿拉伯数字的笔算和用罗马数字进行运算的简捷程度:

      首先,我们从输入来看:笔算只是把阿拉伯数字按位写出排列对位即可;而罗马数字相对就繁难一些,无法按位写,每一位的数字又要按照“左减右加”的法则累起来,比笔算要复杂得多。其次,看储存:二者差别不是太多,都是写在纸上,只是罗马数字要写的多一些。再次,看运算:笔算是按照事先记住的加减162句口诀,在脑中算出答数;罗马数字的运算就繁得多,象上面的数码符号里,明明看到的是两个“X”和一个“L”,又不能直接集拢在一起。最后,来看看输出:笔算的输出663,比罗马数字的输出DCLXIII,无论从读或写来看,都简单得多。再来看乘除:

例2,计算235×3=705,罗马数字算式与阿拉伯数码笔算式如下:

     CC XXX V?III=DCCV                   5

     CC    CC   CC                          × 3

     XXX  XXX  XXX                        5

            V

 


      DC

      XC

      XV

 


     DCCV

 

例3,计算21÷7=3,其罗马数字的算式与阿拉伯数码算式如下:

        XXI÷VII=III

        -VII                                   3

                                          ) 2  1

         XIV                               -2  1

       - VII                                       0

  

         VII       1

        -VII

  

      容易看出:“罗马记数法是相当笨拙的,这使得四则运算非常复杂,实际上阻碍了数学的发展。”[3]

      由于阿拉伯数码和笔算的引入,使四则计算的繁难程度大大简化了。其原因主要有两个:一是阿拉伯数码在表示多位数时采用了中国发明的“十进位值制”,再一个是阿拉伯数码容易书写。从而推动欧洲数学在文艺复兴时期有较快的发展和进步。促成阿拉伯数码和笔算变成世界通用的记数方式和运算模型。

                        四、笔算与中国珠算在算法要素上的比较

      笔算随着学校制度、数学课程教材传遍世界,并不能证明它就比中国珠算优越。现在我们来进行比较。例如 256+623=879:

       笔算                          中国珠算

        6

 +    6   2  3

        9

      我们也从算法的四个要素情况进行对比分析:

      从输入看:中国珠算的输入非常简单,每档所需状态都已设置完备,只需把所用之数目拨向梁即可;而笔算的输入是把数码重新写在纸上;与珠算法的输入相比,费事一些,速度要慢些。

      从储存上看:中国珠算比笔算节省储存空间,如上例珠算只占用3档(3个储存单元),而笔算却要至少用9个储存单元。中国珠算的储存单元还可以用了再用;而笔算储存单元用一次就报废,不能在原处再写。

        通常人们认为珠算只能暂时储存。其实珠算并不影响永久储存。如果只是暂时储存,就储存在算盘上;如果需要永久储存,只要用文字把结果记录在薄本上即可,薄本就是珠算的外储存器。计算机要想永久储存,也是储存在外储存器上(磁盘、光盘、打印在纸上)。

      从运算上看:笔算的阿拉伯数码符号没有计算功能。如6+3,单凭符号“6”、“3”得不出“9”,要死记得9。而中国的珠算法,由珠码      与      拼在一起就是。只要按照26个算母向梁、向框拨珠输入,同时也就完成了运算。这个拨珠动作既是在输入,也是在进行运算,还是储存和输出。

      从输出上看:中国珠算在输入、运算的同时也完成输出。而笔算是在脑中按死记得出运算结果后,再把得数写在纸上,方显输出;比较珠算费事,速度也慢些。

      从上面算法要素的比较,可以看出:中国珠算在输入、输出、储存和运算方面都比笔算优越。上面所述中国珠算相对笔算的优越性,还不包括近代对珠算的开发,单单从计算的角度看就显著超越笔算。

                    五、笔算输入中国并在数学教育中占据一统

      从历史上看,阿拉伯数码和笔算输入中国的时期,大致有三个:一次是在唐代;一次是在元代;最后一次是从明代末期开始。前两次输入未能兴起来。当然,不排除其中的原因是多方面的;但主要原因是笔算速度缓慢,不如筹算、珠算等中国当时的计算技术。那时的数学教育中,教学的是中国传统数学,所以,即便引入、介绍笔算,知道的人很少;加之它没有珠算简便、迅速。因此,在当时也就自然兴不起来。

      最后一次输入,也长期未被采用。因为那时忽略数学教育,即便民间进行一些数学教育,内容也主要是珠算而不是笔算。况且它远没有珠算简单、易学、速度高,人们何必要舍简就繁、舍易就难而学习、使用笔算呢?所以在实际计算中,长期没有人愿意采用笔算。

           1864年来华的美国长老会传教士狄考文在向中国输入笔算方面,影响较大。“狄考文(Rev. Calcin.W.Mateer)和邹立文合译的《笔算数学》、《形学备旨》,……《笔算数学》正式采用了阿拉伯数字。该书第一章第六款是‘数目字的样式’,其中写道:‘大概各国有各国的数目字,虽然各国发音不一样,而意思和字迹却都相同,这种字容易写,笔算也很合用,看大势是要通行天下万国的……’。但当时所用的阿拉伯数字是直写的。”[4] 狄考文的预测也是正确的,阿拉伯数码和笔算确实是通行万国了。

       直到清末全盘搬进西洋学制、课程知识结构,全盘西化,学校数学课中全部采用笔算。要学数学,便不能不学习笔算。从而笔算在中国数学教育中占据一统。但在实用中仍然使用珠算;因为笔算不行,如果营业员用笔算,会被人耻笑的。造成上百年来“数学课中学的笔算无用,有用的珠算在数学中不学”的奇怪现象。

       当年欧洲人推崇笔算,我们可以理解:那是因为在欧洲,由于阿拉伯数码和笔算的引入大发简化了运算(与用罗马数字进行计算相比),从而推动了数学的快速发展。中国珠算比笔算优越得多,为什么中国数学教育家从清末以后也非常推崇笔算,也象欧洲人那样崇尚笔算而排斥珠算,这就有点不可理解了。这与社会大环境有关,可能有这些原因:一是从鸦片战争之后,逐渐丧失了民族自信,崇洋媚外的思想成了主导;认为西洋的一切都好,外国的数学教学知识结构动不得,怎么能把数学教学知识结构中的笔算改为珠算。二是没有深入研究珠算内在的优越性,就想当然的认为算盘太古老了,应该淘汰了;更未能去分析笔算的不足;即便有个别研究者提出科学见解,官方也不会接受的。归根结底,是笔算已经进入数学教学知识结构,形成教学知识体系;珠算没有进入数学教学知识结构和体系。

                     六、引入珠算符号模型建立新的数学教学知识结构

    笔算进入数学教学知识结构,并形成了一统几百年,是不是就说明阿拉伯数码符号和笔算模型就完美无缺?当然不是。特别在电子计算机信息时代,拿笔算与珠算相比,可知有很多地方笔算是不适应的,而珠算却有独特的优势。主要表现在以下几个方面:

    1.与阿拉伯数码相比,珠码符号有计算功能。可以通过拼排“珠码符号”就可以实现运算。从而能够简化计算,简化数学教学,提高教学效率。

    2.珠玛符号与阿拉伯数码相比节省储存空间。笔算需要列竖式来进行计算,占用储存空间较多;而珠算节省储存空间,不仅运算速度很快,而且适合脑算、适合计算机,是手脑机通用算法模型。能够自然的整合数学与计算机教学。如26+53=79。

笔算运算模型      珠算运算模型            计算机运算模型

    2 6          10                      10  A = 26

 5 3          20                      20  A = A + 53

    7 9          30                      30  A = 79

                            

                             

                        A

      由上面的程序可以看出:珠算的运算模型、算法语言、程序与计算机是一致的,很容易搬到计算机上;而笔算的运算模型与计算机是不同的,用笔算模型解释不通计算机语言。

      3.珠算还有几何功能,这对于体现计算机图形学原理非常有利。

     现代珠算研究还发现了许多独特的优越性。但是,珠算有优越性是一回事,能不能发挥出这些优越性又是另一回事。回顾笔算的历史可知,必须把珠算编制到数学教学知识结构中,它的作用才能充分发挥出来,它的地位上才能够牢固。

       我们都知道,在二十世纪七、八十年代,全国范围内的“三算结合”教学搞得非常红火,珠算进入数学课堂,普及全国各个省市,效果十分明显。可是搞“一学三会”,是“三张皮”未能真正把珠算编织到教学知识结构中去。后来,恢复笔算数学,按教学大纲,没有珠算的位置,“三算结合”便被一刀砍掉了。再如,2002年的新课程课程标准中彻底砍掉了珠算。

      因此,要想使珠算珠心算长久下去,能够发挥它本来该有的积极作用,为子孙后代造福,路子只有一条:那就是把珠码符号和运算模型编织进入数学教学知识结构。

      总之,笔算受宠,并非由于它本身优越无比,而主要是历史上把它编织到了数学教学知识结构中的缘故;珠算受某些数学教育界人士的排斥,主要是因为还没有将它编织到数学教学知识结构中的缘故。所以,当务之急,是我们珠算、珠心算研究者要全力投入这方面的研究和教学实验中去。

 

                                      参 考 文 献

[1] D. J. Struik,  Source Book in Mathematics, Harvard Univ. Press (1969) 2。(上册81页)。

[2] 刘芹英著,《中国机械化数学近代发展概论》,知识经济出版社,2005年12月第一版,2006年3月第二次印刷,P176。

[3] 梁宗巨,《世界数学通史》(上册),辽宁教育出版社,2000,P62。

 [4] 张奠宙主编,《数学史选讲》,上海科学技术出版社,1997年7月,P271—272.

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